期權定價模型的公式解法及關鍵

   由于事實上許多衍生產品并不存在封閉解,人們開始嘗試其他的方法，包括二叉樹法、近似解、數字解和Monte Carlo技術.

 

   1.二叉樹法

   二叉樹模型是最傳統的方法.它的特點是繁瑣但很精確,它將標的資產的價格波動分為兩種情形,并通過多階段分析得到最終結果.

 

   2.近似解

   數學上認為任何連續函數都可以通過多項式逼近,Johnson(1983年)在此基礎上發展了一個用于求解美式看跌期權的公式，但是由于涉及輸入參數的變化范圍,此公式不夠精確.Macmillan(1986年), Barone和Whelay(1987年)分別提出了更加精確的近似公式,通過對微分方程的近似公式進行求解而得到結果,雖然輸入參數選取范圍上受到一定的限制,但它仍被廣泛地使用.

 

   3.數字解

   前面提到在用于美式看跌期權定價的Geske一Johnson封閉解中存在無窮數項, Geske和Johnson(1984年)用數字方法得到了這個公式的近似解,這一方法即Richardson 外推法.因為一一個精確公式 的近似解畢竟優于一個近似公式的精確解,因此相比Ber一one和Whelay的方法, Richardson外推法更為看好.同時,近年來計算機技術的迅猛發展也導致近似解不再流行,而數字解更具有吸引力.

 

   4. Monte Carlo技術

   Boyle(1977年)將Monte Carlo模擬方法引入了期權領域.在定價期權時,會產生上萬種隨機結果,這是由于標的資產隨機變化的結果.MonteCarlo模擬方法通過對標的資產的模擬得出期權價格的隨機分布情況,然后對期望值按無風險利率進行貼現即得.Monte Carlo技術在如今仍受到極大關注的一個重要原因是它能對許多復雜衍生產品進行精確定價.現在研究者們正在致力于完善Monte Carlo技術,如Lehociky(1997年), Paskov(1997年)和Newton( 1997年)的研究。

 

   在幾乎所有的期權定價模型中,最關鍵的參數就是標的資產的波動率,大多數期權對波動率這一不可觀察的變量高度敏感.為了取得期權定價,必須估計波動率。第一個常用的方法是用最近的歷史波動率作為遠期波動率的預測，這就是Engle(1982年)提出的條件異方差(ARCH)模型,現在該模型已經發展成為一個被用來估計波動率的ARCH族( ARCH Family)模型.另外一個常用方法是采用隱含波動率.令由期權定價公式得到的理論期權價格與當前市場交易的期權價格相等時所求出的波動宰就是隱含波動率.隱含波動率的研究集中在它的估計方法和預測能力兩個方面.

 

   Backers(1981年) ,Canina和Figlewski( 1993年) , Mayhew( 1995年)都認為隱含波動率用來預測真實波動率的效果并不好.近來,瞬時波動率的可變性受到了一些關注.大多數期權定價模型以波動率不變為假設條件,而事實上波動率本身是一個隨機變量,因此,經常被稱為隨機波動率.假如波動率本身是有風險的，那么在把它代入期權定價模型時,需要對波動率風險也進行套期保值,雖然已經開發出了以波動率為標的資產的衍生產品,但從技術上來說對波動率風險進行套期保值是不可能的.Ball和Roma(1994年)對隨機波動率進行了深入的研究.在期權定價研究中一個令人困惑的現象是給定了標的資產后,波動率會隨時間和執行價格而變化.這個現象也被稱為波動率的期限結構.相同標的資產具有相同到期日但由于具有不同執行價格所引起的波動率上的差異被稱為“波動率微笑".這個稱呼是由隱含波動率隨執行價格變化的形狀得來,即執行價格偏高或偏低時波動率高，而執行價格在市場價格附近時波動率較低.“波動率微笑"(或者說標的資產含有的波動率不止一個)已被大量研究證實,但結論卻不能令人滿意.因為假如存在多個波動率,則期權定價模型就難以應用.現在有許多研究已著力于改進期權定價模型,使之適應波動率變化的情況.在這個領域中最著名的研究工作有Rubinstein .(1994年), Dupire(1994年)和Derman, Kani(1994年)